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| Fractais: Uma nova visão de natureza |
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Sinopse da obra
O livro é uma introdução informal à geometria fractal em que se discute aplicações na Física, nas Ciências da Terra, na Biologia e nas Artes. Tenta-se mostrar como conceitos básicos da nova geometria fractal podem ser naturalmente introduzidos juntamente com a geometria elementar apresentada no ensino fundamental e médio. Ao longo do livro, enfatiza-se a co-evolução da Matemática e da sociedade humana, discutindo-se tanto os fatores históricos, sociais e tecnológicos que influenciam a construção dos conceitos matemáticos como seu uso posterior na elaboração e fundamentação de diferentes visões de mundo. Isso é feito sem negligenciar a autonomia parcial da evolução das idéias matemáticas.
No capítulo 1, discute-se em que sentido as idéias geométricas e a linguagem matemática em geral afetam nossa percepção do mundo. Faz-se também uma introdução histórica à geometria Euclidiana e geometria Fractal. No capítulo 2, alguns conceitos geométricos simples (comprimento, área, volume) são colocados em um contexto mais amplo, apresentando-se a idéia de dimensão fractal que generaliza a idéia de dimensão euclidiana. Exemplos de fractais regulares (conjunto de Cantor, tapete de Sierpinsky, esponja de Menger etc.) são introduzidos. Mostra-se também como calcular a dimensão fractal de um objeto pelo “método de recobrimento”. No capítulo 3, discute-se a relação entre Estatística e Fractais. No capítulo 4 considera-se o uso de geometria fractal nas Ciências da Terra. Aplicações em Física são apresentadas no capítulo 5. No capítulo 6, discute-se o uso da geometria fractal em Biologia e Fisiologia. Aplicações na Economia são apresentadas no capítulo 7. No capítulo 8, comenta-se a influência da geometria fractal nas artes plásticas, na música e na arquitetura. No capítulo final, discute-se a evolução das idéias da geometria fractal, sugerindo-se algumas das condições histó¬ricas, sociais e tecnológicas que favoreceram seu desenvolvimento e disseminação cultural nas últimas décadas do século XX. O capítulo também discute as semelhanças e diferenças entre construções matemáticas tais como a geometria fractal e outras criações humanas como os jogos e as artes.
Observações: Neste projeto será apresentado apenas o capítulo 2, que é o mais extenso da obra e de confecção mais delicada. É o único capítulo que requer conhecimento prévio de matemática elementar: manipulação de frações, potências e logaritmos, conceitos de comprimento, área e volume. Acredito que o material deste capítulo esteja em nível adequado para o público alvo, uma vez que foi testado com sucesso em aulas particulares para estudantes de ensino médio.
Por ser um capítulo de caráter mais técnico, talvez dê uma visão apenas parcial do conteúdo do livro. O tema do livro não é apenas um tópico de Matemática, mas sim a discussão da relação, sempre problemática e controversa, entre conceitos matemáticos ideais e sua aplicação ao mundo real. A influência das idéias matemáticas em nossas visões de mundo também é um tema do livro, sendo mais elaborado no capítulo final.
Quanto às figuras e ilustrações, existe uma profusão de imagens de fractais geradas por computação gráfica, imagens de arte fractal (nem sempre geradas por computador: o artista plástico Jackson Pollock (1912-1956) é considerado um precursor da arte fractal) e fotos de objetos naturais com formas fractais — relevos montanhosos, sistemas fluviais, relâmpagos, colônias de bactérias, pulmões, sistema circulatório — gratuitamente acessíveis na Internet. As figuras apresentadas neste projeto, referentes ao capítulo 3, são esquemáticas e provisórias. Anexamos também exemplos de ilustrações e arte fractal que serão usadas nos outros capítulos do livro.
Sumário
1. Introdução: Vemos o mundo com nossos olhos ou com nossas mentes?
2. Dimensões fractais
• Dimensões fractais entre 0 e 1: A poeira de Cantor.
• Dimensões fractais entre 1 e 2: O tapete de Sierpinsky.
• Dimensões fractais entre 2 e 3: Relevos fractais e esponjas de Menger.
• Como encontrar a dimensão fractal de um objeto.
3. Estatística Fractal
• Auto-semelhança.
• Fractais irregulares.
• Fractais e leis de potência.
• Exemplo: a distribuição de notas no Vestibular.
4. Paisagens fractais
• Bacias hidrográficas fractais.
• Relevo fractal.
• Terremotos fractais.
5. Física Fractal
• Aglomerados fractais.
• Fractais e transições de fase.
• Caos e fractais.
6. Biologia fractal
• Bactérias fractais.
• Plantas fractais.
• Fisiologia fractal.
• Das bactérias às Baleias
7. Economia Fractal
• A lei de Pareto de distribuição de renda.
• Fractais na bolsa de valores.
• Redes Fractais
8. Arte fractal
• A beleza dos fractais.
• Arte fractal.
• Música fractal.
• Arquitetura fractal.
