Espíritos, Arte e a Quarta Dimensão

Bryan Clair, professor de matemática da Saint Louis University,
publicado na edição de setembro de Strange Horizons

No meio do século dezenove, Henry Slade de Albion, Michigan, era notório como um médium espírita. Suas sessões e psicografias eram suficientemente impressionantes a ponto de nobres europeus convidarem-no a suas cortes, e foi em seu tour pela Europa na década de 1870 que ele convenceu um punhado de notáveis cientistas alemães da realidade do mundo espiritual. O Dr. J. C. F. Zöllner de Leipzig publicou um relato das demonstrações de Slade em seu livro de 1878 Transcendental Physics [Física Transcendental], afirmando que as impossibilidades físicas deveriam ter sido causadas por seres espirituais vivendo na quarta dimensão.

A resenha humorosa do Atlantic Monthly de 1881 de seu trabalho diz:

Uma pessoa abre este trabalho de Zöllner com grande interesse, na expectativa de algo significativo e mais edificante que os enfadonhos relatos de batidas na mesa e as insanas conversações de grandes homens que, ao entrar no Nirvana, aparentemente esqueceram tudo que aprenderam neste mundo e não têm nada melhor a fazer que mover mobília de câmara. Infelizmente, esta esperança não é realizada.

Não obstante, o livro de Zöllner e a controvérsia que gerou conduziu a uma onda de interesse popular na quarta dimensão que durou até pleno século 20. 
Assim, o que exatamente Slade fez? Junto com uma torrente de psicografia, aparições e barulhos misteriosos, ele realmente tomou a atenção de Zöllner fazendo nós aparecerem em um laço de corda, como mostrado abaixo. Tente isto por si mesmo, e você descobrirá que só pode ser feito ao arrebentar a corda. Embora a corda real ficasse debaixo da mesa, Zöllner observou o selo de cera durante a sessão inteira e ficou convencido da alegação de Slade de intervenção espiritual.

Zöllner projetou vários desafios físicos para Slade, para testar sua hipótese de quarta dimensão. Para entender os desafios (e como as respostas de Slade quase completamente falham em superá-los), nós precisamos primeiramente entender a quarta dimensão. 
Matematicamente, "dimensão" se refere ao número de coordenadas necessárias para descrever um ponto, ou equivalentemente os graus de liberdade de movimento em um espaço. Uma linha é unidimensional porque um ponto na linha precisa de apenas uma coordenada para sua descrição. Você poderia dizer "droga, há cem pessoas na minha frente", o que descreve muito bem sua triste posição em um fila em linha. Como outro exemplo, o volume do som é um conceito unidimensional. Um volume particular precisa de apenas um número para ser descrito, possivelmente da escala científica do decibel, ou talvez na escala do controle de volume de seu som, "gire até 10". 
Um espaço bidimensional precisa de dois números para cada ponto. O plano chato e infinito da geometria ginasial é o exemplo principal, com cada ponto recebendo uma coordenada x e y. A superfície de uma esfera também é bidimensional; por exemplo, pontos na Terra são descritos por longitude e latitude. Embora nós passemos a maior parte de nossos dias vagando pela superfície bidimensional da Terra, nosso espaço é na realidade tridimensional, o que significa que podemos nos mover em três eixos, Norte-Sul, Leste-oeste e cima-baixo. Descrever pontos no espaço requer três coordenadas: para localizar um avião, você precisa de longitude e latitude, mais a elevação.

Pergunta: De que dimensão é o "espaço de cores"? Isto é, quanto coordenadas são necessárias para descrever uma cor? (Isto é especialmente interessante porque há muitos modos diferentes de descrever cor, contudo todas têm o mesmo número de coordenadas!)

O próximo passo é a quarta dimensão. Matematicamente, não é nenhum problema definir o espaço quadri-dimensional, ou "hiperespaço". É apenas um espaço abstrato que precisa de quatro coordenadas para descrever cada um de seus pontos, que funciona muito bem para cálculos mas não é de muita ajuda em visualização. Tentar pensar em quatro dimensões é um desafio sério, e exige uma coleção complicada de muletas mentais para fazer algum progresso. 
A muleta mais efetiva é a analogia com uma dimensão menor, um truque aperfeiçoado no romance Flatland [algo como ‘Planolândia’], escrito pelo ministro religioso do século XIX E. A. Abbott. O livro é a história de A. Square [Um. Quadrado], que mora em um mundo de duas dimensões. O sr. Square descreve o mundo dele com alguma crítica não muito sutil à sociedade vitoriana, e então é visitado por uma esfera da terceira dimensão.

Você pode imaginar um ser bidimensional como sendo uma ameba presa em uma placa de microscópio, ou como uma mancha de tinta movendo-se em um pedaço de papel. Freqüentemente é mais fácil imaginá-lo como bem achatado e vivendo na superfície de uma mesa. Usemos esta analogia para explicar os feitos de Slade de destreza quadri-dimensional. Considere um desafio para um médium espírita bidimensional. Nós lhe apresentamos uma faixa de elástico e uma moeda de um centavo, e o desafiamos a pôr o centavo dentro do elástico. Você também pode jogar este jogo, mas como um ser bidimensional você precisará manter o centavo e o elástico na mesa todo o tempo, sem poder levantá-los. Claramente, não pode ser feito. Porém, usando a terceira dimensão você pode levantar uma parte do elástico para cima da mesa, deslizá-lo para cima do centavo e então devolvê-la a como estava. O ser bidimensional veria parte do elástico misteriosamente desaparecer e então reaparecer no outro lado do centavo.

Pergunta: Como um ser bidimensional saberia que o centavo estava de fato dentro do elástico?

Agora nós temos algumas das ferramentas para ajudar-nos a entender os desafios de Slade. Em sessões adicionais, os "espíritos" de Slade faziam anéis de madeira desaparecer de cima da mesa e reaparecer em volta da perna da mesa, queimaduras aparecer em intestinos de porco mantidos debaixo da mesa e conchas de caracol se teleportarem da mesa para o chão. 
O experimento mental do elástico e o centavo mostra exatamente como o truque de anel ao redor da mesa de Slade poderia funcionar se o médium tivesse acesso à quarta dimensão. Ele simplesmente "levantaria" o anel para a quarta dimensão e o colocaria "de volta" ao redor da mesa. Mas colocar anéis ao redor da uma mesa não é o que Zöllner tinha desafiado Slade a fazer! Na realidade, Slade devia unir dois anéis de madeira um ao outro. Os anéis eram de madeiras diferentes, cada um esculpido de um único pedaço. Dois anéis unidos assim são fisicamente impossíveis de criar, assim sua existência forneceria evidência excelente para a quarta dimensão. Colocá-los em volta do pé da mesa, embora impressionante, pode ser for
jado.

Assim são os outros feitos de Slade. Sua façanha inicial, amarrar nós em uma volta fechada de corda, também poderia ser feita com quatro dimensões: mova parte da corda de nosso espaço tridimensional, mova-a pela outra parte da corda, então traga-as de volta a este mundo. Mas Zöllner estava obviamente suspeitando do truque de corda, porque o segundo desafio dele para Slade era amarrar um nó em uma volta fechada cortada da bexiga de um porco. Ao contrário da volta lacrada de corda que poderia ser trocada ou falsificada, Slade não tinha nenhum modo de criar um nó em qualquer pedaço contínuo de carne de porco. Ele tinha três escolhas: cortar a volta e correr o risco de ser desmascarado, realmente usar a quarta dimensão, ou alegar que os espíritos não estavam dispostos a fazer isso. Sem surpresa, ele escolheu a última opção. 
O feito final de Slade era teleportar algumas conchas de caracol. Novamente, a quarta dimensão é um modo bom de fazer este tipo de coisa. Você move a concha para a quarta dimensão, a transporta para onde quer que vá e então a joga de volta ao nosso prosaico espaço tridimensional. A analogia bidimensional deve ajudar a tornar isto claro, já que um ser tridimensional poderia erguer um objeto para fora do plano, movê-lo e então devolvê-lo ao plano. Mas novamente, isto não era o que Zöllner havia pedido. Na realidade, o desafio de Zöllner para Slade era pegar conchas de caracol que tinham espirais girando no sentido horário e transformá-las em conchas de caracol com espirais no sentido anti-horário. 
Muito tempo antes, em 1827, o matemático Möbius, da famosa "tira de Möbius", percebeu que uma viagem pela quarta dimensão poderia transformar um objeto em sua própria imagem espelho. Para entender, nós voltamos à analogia bidimensional. Tome um símbolo que parece errado em um espelho, como um N, e recorte de um pedaço de papel. Se você colocá-lo em uma mesa, descobrirá que não há nenhum modo de virar o N ao contrário apenas deslizando o papel pela mesa. Mas se você se permitir uma terceira dimensão, pode simplesmente erguer o N, virá-lo e colocá-lo de volta na mesa. A versão quadridimensional funciona do mesmo modo. Você poderia usar a quarta dimensão, por exemplo, para transformar um sapato direito em um sapato esquerdo.

Pergunta: Você poderia usar a quarta dimensão para transformar uma luva direita em uma luva esquerda. Mas você já pode fazer isto virando a luva ao avesso. Qual é a diferença?

Em 1909 a Scientific American promoveu uma competição de ensaios para explicar a quarta dimensão, e muitos dos ensaios se focalizaram em reversões de espelho. Substâncias químicas isômeras como a dextrose e levulose (literalmente açúcares destros e canhotos) foram apresentadas como evidência para a existência da quarta dimensão na escala molecular, e um entusiasta de Zöllner alegou que caracóis horários e anti-horários são produzidos por uma reversão hiperespacial, completamente até os seus "sucos". 
H. G. Wells usou o fenômeno de espelhamento em "A História de Plattner" de 1896, que é sobre um homem que acidentalmente se lança a uma distância curta na quarta dimensão. O homem se encontra em um mundo esverdeado povoado por espíritos de humanos mortos, e pode ver imagens lânguidas do reino terrestre sobrepostas nesta sua nova realidade. Depois de uma semana ele consegue voltar para casa, mas se tornou sua própria imagem espelho, como comprovado por fotografias, sua escrita e mais surpreendentemente seu coração, que agora bate do lado direito de seu peito. 
"A História de Plattner" não foi o único aparecimento da quarta dimensão na literatura do período. É a ciência por trás de A Máquina de Tempo, e também o lar para o anjo que cai na Terra em Uma Visita Maravilhosa, os primeiros dois romances de Wells. É referida jocosamente em "O Fantasma de Canterville" de Oscar Wilde de 1887, sobre um espírito inglês que é desprezado pelos novos donos americanos de sua mansão ancestral. E Os Herdeiros de Joseph Conrad de 1901 é sobre humanos quadri-dimensionais destituídos de consciência que assumem o controle da terra. 
Como muitos dos Vitorianos, eu tive minha primeira exposição à idéia da quarta dimensão através da ficção científica, em A Wrinkle In Time de Madeleine L’Engle e suas seqüências. Nestes romances, Charles Wallace, Meg e Calvin "tesseram" entre mundos, viajando pela quarta dimensão. A palavra "tesserar" [tesser] significa quatro, e aparece na palavra "tesseract", que é o análogo quadridimensional do cubo.

Pergunta: Há dois pontos no segmento, quatro segmentos no quadrado, e seis quadrados no cubo. Quantos cubos devem estar no hipercubo?

O tesseract, ou "hipercubo", é o objeto quadri-dimensional mais acessível, assim vale a pena tentar entendê-lo. Nós trabalhamos através de raciocínio indutivo, começando com um ponto e arrastando-o para traçar um segmento. Então arrastamos o segmento para traçar um quadrado, e arrastamos o quadrado para formar um cubo. O próximo passo é arrastar o cubo em uma quarta direção, perpendicular a todas as extremidades do cubo, resultando em um tesseract ou "hipercubo". O último passo, como sempre, é difícil de imaginar porque requer a quarta dimensão. Nós adquirimos uma noção com alguns desenhos:

Usando perspectiva podemos desenhar um cubo de forma um pouco diferente. Fazendo uma projeção semelhante ao hipercubo conduz à imagem tridimensional abaixo. Sua mente reconstrói a imagem de um cubo muito facilmente em uma imagem mental de "cubo". Faça o mesmo com o hipercubo e você deverá ter uma imagem tridimensional satisfatória de um cubo dentro de outro, com cantos conectados por linhas. Porém, esta é só uma imagem do hipercubo, projetada em nosso espaço usando perspectiva. O cubo menor no meio é menor porque está mais longe, naquela quarta direção. Para adquirir um senso ainda melhor do hipercubo, brinque com esta imagem estereográfica em movimento.

Imagens de perspectiva parecem naturais a nós em parte porque estamos acostumados a olhar para elas, especialmente como fotografias, e em parte porque nosso olho funciona de uma maneira semelhante. Mas na realidade a perspectiva resulta em tremenda distorção de imagens. Objetos próximos são mostrados grotescamente grandes enquanto objetos distantes ficam minúsculos. No começo do século 20, um grupo de pintores conduzido por Picasso e Braque conduziram uma cruzada contra a perspectiva tradicional. Eles defenderam não apenas que a perspectiva destrói a proporção, mas que na realidade nós não vemos como uma máquina fotográfica — nós vemos com dois olhos, e nossos olhos se movem para entender uma cena. 
Embora muitos outros fatores tenham estado envolvidos, uma das idéias instrumentais no desenvolvimento do Cubismo era que a quarta
dimensão poderia fornecer um ponto de vista para observar as formas não distorcidas de objetos. Para entender como isto poderia ser verdade, imagine uma criatura bidimensional olhando para um quadrado. Já que a criatura está no mesmo plano que o quadrado, pode ver no máximo apenas uma ou duas extremidades do quadrado, e ver do canto em diante, a medida de ângulo seria difícil de determinar. Ela teria que deduzir a forma como sendo um quadrado. De fato, em Flatland de Abbot, as distinções de classe entre os seres 2-D estavam baseadas em medidas de ângulos, e um homem com ângulos irregulares poderia disfarçar seu status de classe mais baixo escondendo um lado de seu corpo. Em nosso mundo tridimensional você pode olhar para um cubo de lado, mas só sabe é um cubo quando o vira em suas mãos ou caminha ao redor dele. Para superar isto, os Cubistas tentaram retratar todos os lados de um objeto de uma só vez, como se vistos da quarta dimensão. 
Aqui estão dois bons exemplos desta técnica, um por Picasso, que nunca reconheceu explicitamente a influência da quarta dimensão, e um por Jean Metzinger, que claramente a declarou como sua meta.

Em ambos, você pode ver a semelhança entre as figuras facetadas e os planos angulares de um hipercubo, e a xícara de chá em "Le Gouter" é uma demonstração perfeita de pontos de vista múltiplos combinados para dar uma impressão completa de um objeto. Como outro exemplo de cubismo quadridimensional, veja o "Nu Descendo uma Escadaria, N.2" de Marcel Duchamp. Há uma figura um tanto robótica mostrada em várias fases de descida, como se nós estivéssemos vendo múltiplas exposições. Neste quadro, Duchamp (que era o maior defensor da quarta dimensão no mundo da arte) considera a quarta dimensão como tempo.

De forma interessante, esta idéia foi um dos triunfos da teoria de Einstein da relatividade, mas os documentos da relatividade foram publicados em 1916, quatro anos depois de "Nu Descendo"! Duchamp, embora um artista brilhante, não estava se antecipando à física moderna. Ele estava simplesmente seguindo a vanguarda de cientistas que, desde a metade do século XIX, usaram o tempo como outra muleta mental para compreender o hiperespaço. 
Esta muleta de tempo funciona assim: Tome seu objeto quadridimensional e corte-o em uma sucessão de três fatias dimensionais. Duchamp explica,

A sombra lançada por uma figura quadridimensional em nosso espaço é uma sombra tridimensional. . . por analogia com o método pelo qual os arquitetos representam o plano de cada andar de uma casa, uma figura quadridimensional pode ser representada (em cada um de seus andares) através de seções tridimensionais. Estas seções diferentes serão ligadas umas às outras pela quarta dimensão.

Agora imagine as fatias exibidas como um filme, usando o fluxo de tempo para "ligá-las umas às outras". O exemplo clássico disto, usado em Flatland de Abbott, é imaginar uma bola atravessando um plano. Um ser no plano veria primeiro um ponto minúsculo, a "fatia" superior da bola. Enquanto a bola se movimenta para cima, o observador 2D vê o ponto crescer em um círculo maior e maior. Quando a bola tiver passado pelo plano até a metade, o círculo será tão grande quanto possível, e então o observador o verá encolher a um ponto e desaparecer.

Da mesma maneira que não podemos jogar futebol com um frisbee, um atleta quadridimensional precisaria de uma "hiperesfera" em vez de uma bola. E se ele a chutasse pelo seu quarto, você veria um objeto do tamanho de uma ervilha, que cresceria rapidamente ao tamanho de um melão, flutuaria, encolheria de volta a uma ervilha e desapareceria. 
Capturar este tipo de filme era a meta do artista italiano Boccioni que se vangloria:

Parece claro a mim que esta sucessão não será encontrada na repetição de pernas, braços e faces, como muitas pessoas têm estupidamente acreditado, mas é alcançada pela busca intuitiva da forma única que dá continuidade no espaço. . . . Se com intuição artística for possível chegar ao conceito da quarta dimensão, somos nós Futuristas que estamos chegando lá primeiro.

Ironicamente, como a teoria de Einstein de relatividade foi aceita no começo dos anos 20, sua definição elegante do espaço-tempo quadridimensional matou o romance entre o público e a quarta dimensão do espaço. Agora que os físicos estavam tratando o velho tempo como uma quarta dimensão, especulações sobre "outras" direções misteriosas pareciam absurdas, e a quarta dimensão desapareceu da arte e literatura. 
O movimento de arte surrealista foi uma das poucas reaparições do hiperespaço. As associações espirituais e a irracionalidade da quarta dimensão tradicional devem ter atraído Salvador Dali, que usou muitas imagens e alusões à quarta dimensão, como por exemplo em "Crucificação (Corpus Hypercubicus)" e "À Procura da Quarta Dimensão".

S. Dali, Crucificação (Corpus Hypercubicus) (1954) (1954)
© 2002 Salvador Dali, Gala-Salvador Dali Foundation / Artists Rights Society (ARS), New York

A quarta dimensão nesta crucificação é a "cruz" cúbica. Nós sabemos da escola primária que uma cruz plana de papel pode ser dobrada em um cubo, assim nós deveríamos poder dobrar uma coleção tridimensional de cubos em um tesseract. Parece que seria impossível "dobrar" dois cubos juntos, mas não é, e se você pode visualizar esta manobra então está a caminho de dimensões mais altas. Pelo menos se console um pouco do sofrimento de um ser bidimensional encarado com dois quadrados ligados ao longo de uma extremidade. Ele asseguraria que dobrar ao longo da extremidade é uma idéia absurda — os dois quadrados seguramente se separariam. 
Se você desejar mais ajuda para dobrar seu hipercubo, recorra a Robert Heinlein. O conto de Heinlein "And He Built A Crooked House" [E Ele Construiu uma Casa Dobrada] é o conto de um ambicioso arquiteto que projeta uma casa na forma de um tesseract desdobrado, só para que ela colapse em um terremoto da Califórnia e se dobre na quarta dimensão. 
Nem mesmo a teoria da relatividade responde a grande questão: existe uma quarta dimensão do espaço? A Física diz que o tempo é uma quarta dimensão, e as teorias modernas de cordas sugerem um grupo inteiro de dimensões na escala subatômica. Mas nada disto impede outra direção, perpendicular ao espaço, na qual nós poderíamos nos mover se apenas soubéssemos como. Nós somos como os homens na República de Platão, presos em uma caverna e iluminados por detrás. Seu mundo inteiro consiste em suas próprias sombras, projetadas na parede da caverna. Sombras são tudo que eles já viram, sombras são tudo que eles conhecem, e sombras são a realidade deles. Falar para estes homens que eles são seres sólidos que vivem no espaço é impossível, e poderia ser assim conosco e a quarta dimensão. Se ela está lá, está em uma direção para a qual nós não temos nenhuma concepção e nenhum modo de ver.

Bryan Clair é professor de matemática na Saint Louis University. Este artigo foi traduzido com sua gentil autorização. Suas publicações anteriore
s, em inglês, em Strange Horizons podem ser encontradas seguindo o link anterior.

Leitura Adicional:

Flatland: A Romance In Many Dimensions de E.A. Abbott (1884) está disponível on-line em sua forma complea. Ainda é a discussão definitiva sobre a quarta dimensão usando a analogia de uma dimensão menor.

The Fourth Dimension de Rudy Rucker (1984) é uma leitura fabulosa.

Respostas às Perguntas:

1. O espaço de cores é tridimensional. As cores são descritas como coordenadas Vermelho-Verde-Azul, como mostrado abaixo, ou mesmo por coordenadas Tom-Saturação-Valor. CMYK parece ter quatro coordenadas, mas é apenas para economizar tinta ao evitar misturar Ciano, Magenta e Amarelo para formar Preto.

2. O ser 2D não poderia ver a moeda de um centavo de nenhum lado: ela está cercada pelo elástico. Ele teria que empurrar o elástico e inferir que a moeda estava dentro dele.

3. Se você transformar uma luva direita em uma esquerda usando a quarta dimensão, será realmente uma luva esquerda. Não estará virada do avesso.

4. Há 8. Aqui estão eles:

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